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Message |
michel
Invité
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 Posté le: 14 Avr 2005 16:53 Sujet du message: Point de Torricelli d'un triangle |
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Bonjour,
Soient dans le plan, un triangle ABC dont les 3 angles sont aigus, P un point à l'intérieur du triangle, on sait que le point P tel que PA+PB+PC soit minimal, s'appelle point de Torricelli.
Les distances de P à A, à B et à C se nomment respectivement x, y et z et les côtés du triangle AB=c, BC=a, CA=c. On sait que le point P est situé au point de concours des 3 cercles circonscrits aux 3 triangles équilatéraux construits sur les côtés du triangle ABC et à l'extérieur de celui-ci. A l'aide des équations de 2 de ces cercles qui se coupent, on peut trouver les coordonnées de P.
Dans le cas qui m'intéresse a²=277, b²=181 et c²=340. A partir des coordonnées de P on trouve les distances x=8.8727, y=12.3253 et z=6.6069.
On s'interesse maintenant à une autre méthode :
dans les triangles ABP,ACP et BCP on a :
eq1:=c²=x²+y²-2x.y.cos(2Pi/3)=x²+y²+x.y de même
eq2:=b²=x²+z²+x.z
eq3:=a²=y²+z²+y.z
D'autre part les 4 points A, B, C et P appartenant au plan alors le déterminant de Caley est nul, donc :
eq4:=det(matrix(5,5,[
0,1,1,1,1,
1,0,x²,y²,z²,
1,x²,0,c²,b²,
1,y²,c²,0,a²,
1,z²,b²,a²,0]))=0:
Si on essaie sol:=solve({eq1,eq2,eq3],{x,y,z}); : ceci ne donne rien.
Si on essaie sol:=solve({eq1,eq2,eq3,eq4],{x,y,z}) ; : ceci ne donne rien non plus.
Mais si on essaie sol:=solve({eq1,eq2,eq4],{x,y,z}); suivi de map(evalf,allvalues(%)); alors on obtient 200 solutions différentes environ parmi lesquelles "la bonne" x=8.8727, y=12.3253 et z=6.6069. La question que je me pose est : Pourrait-s'y prendre mieux ? en réduisant le nombre des solutions avec les valeurs négatives par exemples. Merci de me répondre. |
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michel
Invité
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| Posté le: 15 Avr 2005 10:57 Sujet du message: Point de Torricelli d'un triangle |
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Bonjour, en fait je me suis tiré d'embarras en utilisant la commande :
fsolve({eq1,eq2,eq3},{x,y,z},0.1..19); permettant d'imposer des conditions aux inconnues, ici ce sont des distances inférieures aux plus long côté du triangle. L'équation due au déterminant de Caley est inutile sauf à titre de vérification. A+ |
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ALS
Invité
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| Posté le: 15 Avr 2005 11:45 Sujet du message: Re: point de Torricelli d'un triangle |
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Bonjour,
Oui, ou comme ceci:
| Code: |
> a:=sqrt(277):b:=sqrt(181):c:=sqrt(340):
> eq1:=c^2=x^2+y^2+x*y: eq2:=b^2=x^2+z^2+x*z: eq3:=a^2=y^2+z^2+y*z:
> sol:={allvalues(solve({eq1,eq2,eq3},{x,y,z}))}:
> s:=map(evalf,sol);
s := {{z = -6.606979659, x = -8.872751967, y = -12.32535739},
{x = 8.872751967, z = 6.606979659, y = 12.32535739},
{x = -0.5428684421, z = -13.17397252, y = 18.70452826},
{y = -18.70452826, x = 0.5428684421, z = 13.17397252}}
> for k to nops(s) do
> if rhs(s[k][1])>0 and rhs(s[k][2])>0 and rhs(s[k][1])>0 then print(s[k]) fi
> od;
{x = 8.872751967, z = 6.606979659, y = 12.32535739}
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Je vais essayer d'écrire une procédure qui calculera automatiquement les coordonnées du point de Torricelli, à partir de 3 points donnés par leurs coordonnées. Donc revenez faire un petit tour ici dans quelque temps. |
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ALS
Invité
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| Posté le: 15 Avr 2005 14:11 Sujet du message: Re: point de Torricelli d'un triangle |
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Voici la procédure Torricelli qui calcule les coordonnées du point de Torricelli d'un triangle ABC dont les 3 angles sont aigus.
| Code: |
> restart;
> with(geometry):
> point(A,[-6,7]): point(B,[2,-5]): point(C,[11,2]):
> prod_scalaire:=proc(A,B,C)
> # calcule le produit scalaire des vecteurs AB et AC.
> (HorizontalCoord(B)-HorizontalCoord(A))*(HorizontalCoord(C)-HorizontalCoord(A))+(VerticalCoord(B)-VerticalCoord(A))*(VerticalCoord(C)-VerticalCoord(A))
> end proc:
> prod_scalaire(A,B,C);
196
> sens:=proc(A,B,C)
> # détermine si le triangle ABC est aplati, ou sinon de sens direct ou indirect
> # si ABC aplati: 0 si ABC direct: 1 si ABC indirect: -1
> local a;
> a:=0.5*(HorizontalCoord(A)*VerticalCoord(B)-HorizontalCoord(B)*VerticalCoord(A)+HorizontalCoord(B)*VerticalCoord(C)-HorizontalCoord(C)*VerticalCoord(B)+HorizontalCoord(C)*VerticalCoord(A)-HorizontalCoord(A)*VerticalCoord(C));
> # a est l'aire signée du triangle ABC
> if a=0 then 0 else sign(a) end if;
> end proc:
> sens(A,B,C);
1
> arrondi:=proc(x)
> # arrondit x à 3 décimales
> evalf(round(x*10^3)/10^3)
> end proc:
> arrondi(Pi);
3.142000000
> Torricelli:=proc(A,B,C)
> local s,i1,i2;
> triangle(T,[A,B,C]):
> if prod_scalaire(A,B,C)<0 or prod_scalaire(B,C,A)<0 or prod_scalaire(C,A,B)<0 then error "Le triangle doit avoir ses 3 angles aigus" end if:
> if sens(A,B,C)=1 then s:='counterclockwise' else s:='clockwise' end if;
> rotation(B1,C,Pi/3,s,A); triangle(T1,[A,C,B1]):
> rotation(C1,A,Pi/3,s,B); triangle(T2,[B,A,C1]):
> rotation(A1,B,Pi/3,s,C); triangle(T3,[C,B,A1]):
> circumcircle(cc1,T1):circumcircle(cc2,T2):circumcircle(cc3,T3):
> intersection('E', cc1, cc2,[U,V]);
> i1:={map(evalf,coordinates(U)),map(evalf,coordinates(V))};
> i1:={seq(map(arrondi,i1[k]),k=1..nops(i1))}:
> intersection('F', cc2, cc3,[W,X]);
> i2:={map(evalf,coordinates(W)),map(evalf,coordinates(X))};
> i2:={seq(map(arrondi,i2[k]),k=1..nops(i2))}:
> plots[display]({draw(T,color=black),draw(T1),draw(T2),draw(T3),draw(cc1,color=blue),draw(cc2,color=blue),draw(cc3,color=blue)});
> op(i1 intersect i2) # mettre un # en tête de cette ligne pour seulement voir la figure
> end proc:
> Torricelli(A,B,C);
[2.845000000, -0.7640000000]
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En espérant que cela vous convienne, amicalement.
ALS |
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michel
Invité
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| Posté le: 16 Avr 2005 15:04 Sujet du message: Point de Torricelli d'un triangle |
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Bonjour, merci beaucoup pour cette procédure qui me convient parfaitement. J'ai apprécié l'habile usage de la commande "intersection".
A bientôt. |
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