ALS
Invité
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 Posté le: 25 Avr 2005 12:04 Sujet du message: Re: cercle inscrit dans un quadrilatere de R^2 |
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Les bissectrices intérieures d'un quadrilatère convexe sont concourantes si et seulement si le quadrilatère admet un cercle inscrit.
Démonstration:
Soit ABCD le quadrilatère, O le point d intersection des bissectrices et I, J, K, L les projetés orthogonaux de O sur les côtés. Alors, OI=OJ=OK=OL et [OI] est perpendiculaire à [AB]. Respectivement pour [OJ], [OK], [OL] avec [BC], [CB], [DA]. (1)
Donc le cercle de centre O et de rayon [OI] est tangent aux cotés de ABCD.
Réciproquement, si O est le centre du cercle, alors (1) est vraie et O est sur chaque bissectrice.
| Code: |
> restart:
> with(geometry):
>
> cercle_inscrit:=proc(a,b,c,d)
> bisector(b1, b, triangle(abc,[a,b,c])):
> bisector(b2, c, triangle(bcd,[b,c,d])):
> bisector(b3, d, triangle(cda,[c,d,a])):
> bisector(b4, a, triangle(dab,[d,a,b])):
> intersection(m1,b1,b2):intersection(m2,b2,b3):
> intersection(m3,b3,b4):intersection(m4,b4,b1):
> if coordinates(m1)=coordinates(m2) and coordinates(m1)=coordinates(m3) and coordinates(m1)=coordinates(m4) then
> [centre=coordinates(m1),rayon=simplify(distance(m1,line(ab,[a,b])))]
> else
> error "Le quadrilatère n'admet pas de cercle inscrit"
> end if
> end proc:
>
> point(a,[1,2]): point(b,[-2/3,1/2]): point(c,[4,-5^(1/2)]): point(d,[-5/2,3/4]):cercle_inscrit(a,b,c,d);
Error, (in cercle_inscrit) Le quadrilatère n'admet pas de cercle inscrit
> point(a,[1+3^(1/2), 2+3^(1/2)]): point(b,[2/3*(3+3^(1/2))*3^(1/2), -1]):
> point(c,[4-2*2^(1/2), -1]): point(d,[-2*(-3^(1/2)+1+2^(1/2)*3^(1/2))/(1+3^(1/2)), -(-5+2*2^(1/2)-3^(1/2))/(1+3^(1/2))]):
> cercle_inscrit(a,b,c,d);
[centre = [2, 1], rayon = 2]
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