Apprendre Maple

[Jean-Michel]

Comment avec MAPLE tracer le cercle d'Euler ou cercle des 9 points d'un triangle ABC?

[Invité]

> with(geometry):
> triangle(T, [point(A,0,0), point(B,2,0), point(C,1,3)]):
> EulerCircle(EC,T,'centername'=O):
> detail(EC);

assume that the names of the horizontal and vertical axes are _x and _y, respectively

name of the object: EC
form of the object: circle2d
name of the center: O
coordinates of the center: [1, 5/6]
radius of the circle: 1/36*25^(1/2)*36^(1/2)
equation of the circle: _x^2+1+_y^2-2*_x-5/3*_y = 0

Pour tracer ABC et le cercle d'Euler:


> draw({T,EC},printtext=true);

[ALS]

On peut même faire mieux en faisant démontrer ce théorème à MAPLE:


Théorème: Cercle d'Euler ou cercle des 9 points
Soient:
Un triangle ABC quelconque d'orthocentre H.
M1, M2, M3 les milieux des côtés BC, CA, AB.
H1, H2, H3 les pieds des hauteurs du triangle ABC issues de A,B,C respectivement.
N1, N2, N3 les milieux des segments AH, BH, CH.

Alors les 9 points M1, M2, M3, H1, H2, H3, N1, N2, N3 sont sur un cercle C2 dont le centre N est le milieu du segment joignant l'orthocentre H au centre O du cercle circonscrit C1 au triangle ABC, et dont le rayon est la moitié de celui du cercle C1.

Définition: Le cercle C2 est appelé Cercle d'Euler ou cercle des 9 points du triangle ABC.



> with(geometry):
> # Definition du triangle T=(ABC)
> triangle(T,[point(A,0,0),point(B,3,5),point(C,7,0)]):
> # milieux des segments BC,CA,AB
> midpoint(M1,B,C): midpoint(M2,C,A): midpoint(M3,A,B):
> # orthocentre et centre O du cercle circonscrit à T
> orthocenter(H,T): circumcircle(C1,T,'centername'=O):
> # hauteurs issues des sommets A,B,C
> altitude(AH1,A,T,H1): altitude(BH2,B,T,H2):
> altitude(CH3,C,T,H3):
> # Definition des points N1, N2, N3, du point N et du cercle C2
> midpoint(N1,A,H): midpoint(N2,B,H): midpoint(N3,C,H):
> circle(C2,[midpoint(N,H,O),1/2*radius(C1)]):
> # M1, M2, M3, H1, H2, H3, N1, N2, N3 sont-ils sur le cercle C2?
> IsOnCircle(M1,C2); IsOnCircle(M2,C2); IsOnCircle(M3,C2);
> IsOnCircle(H1,C2); IsOnCircle(H2,C2); IsOnCircle(H3,C2);
> IsOnCircle(N1,C2); IsOnCircle(N2,C2); IsOnCircle(N3,C2);
> # tracé de la figure:
> draw([C2(filled=true,color='COLOR'(RGB,1.00000000,1.00000000,.8000000000)),
> C1(filled=true,color=green),T(style=line,color=blue),N,M1,M2,M3,H1,H2,H3,N1,N2,N3,H],
> style=point,symbol=diamond,axes=none,printtext=true);

true


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Ce qui donne la figure suivante:

http://alamanya.free.fr/forum/images/cercleeuler.gif