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résolution déquations différentielles (urgent)

 
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mac-of-jacam



Inscrit le: 01 Fév 2007
Messages: 1
MessagePosté le: 15 Fév 2007 11:54    Sujet du message: résolution déquations différentielles (urgent) Répondre en citant
Je cherche à résoudre une équation différentielle en mettant les solutions sous forme de séries de fourrier:

Code:
Eq := 9000*diff(z(x,t),`$`(t,2))+180.0000000*diff(z(x,t),`$`(x,4))-20000*diff(z(x,t),`$`(x,2)) = 0


La solution est le mouvement d'une caténaire considérée encastrée à ses extrémités.

Dernière édition par mac-of-jacam le 22 Fév 2007 12:00; édité 1 fois
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ALS



Inscrit le: 11 Sep 2006
Messages: 647
MessagePosté le: 15 Fév 2007 13:46    Sujet du message: Répondre en citant
Bonjour, voici la solution générale z(x,t)=_F1(x) _F2(t) où _F1 et _F2 est solution d'une équation différentielle eq1, respt eq2 du 4ème, resp du 2ème ordre.

Code:

> Eq := 9000*diff(z(x,t),`$`(t,2))+180*diff(z(x,t),`$`(x,4))-20000*diff(z(x,t),`$`(x,2)) = 0;

             / 2         \       / 4         \         / 2         \
             |d          |       |d          |         |d          |
  Eq := 9000 |--- z(x, t)| + 180 |--- z(x, t)| - 20000 |--- z(x, t)|
             |  2        |       |  4        |         |  2        |
             \dt         /       \dx         /         \dx         /

         = 0

> pdsolve(Eq,z(x,t));

  (z(x, t) = _F1(x) _F2(t)) &where [{

         2
        d
        --- _F2(t) = -1/450 _F2(t) _c[1],
          2
        dt

         4                                     / 2        \
        d                                      |d         |
        --- _F1(x) = 1/9 _c[1] _F1(x) + 1000/9 |--- _F1(x)|}]
          4                                    |  2       |
        dx                                     \dx        /

> eq1:=diff(_F1(x),`$`(x,4)) = 1/9*_c[1]*_F1(x)+1000/9*diff(_F1(x),`$`(x,2));

              4                                     / 2        \
             d                                      |d         |
      eq1 := --- _F1(x) = 1/9 _c[1] _F1(x) + 1000/9 |--- _F1(x)|
               4                                    |  2       |
             dx                                     \dx        /

> dsolve(eq1,_F1(x)); assign(%):

                                  1/2
  _F1(x) = _C1 exp(-1/3 (500 - %1)    x)

                                 1/2
         + _C2 exp(1/3 (500 - %1)    x)

                                  1/2
         + _C3 exp(-1/3 (500 + %1)    x)

                                 1/2
         + _C4 exp(1/3 (500 + %1)    x)

                          1/2
  %1 := (250000 + 9 _c[1])

> eq2:=diff(_F2(t),`$`(t,2)) = -1/450*_F2(t)*_c[1];

                       2
                      d
               eq2 := --- _F2(t) = -1/450 _F2(t) _c[1]
                        2
                      dt

> dsolve(eq2,_F2(t)); assign(%):

  _F2(t) =

                      1/2      1/2                    1/2      1/2
        _C1 sin(1/30 2    _c[1]    t) + _C2 cos(1/30 2    _c[1]    t)

> z(x,t):=_F1(x)*_F2(t);

                                     1/2
  z(x, t) := (_C1 exp(-1/3 (500 - %1)    x)

                                 1/2
         + _C2 exp(1/3 (500 - %1)    x)

                                  1/2
         + _C3 exp(-1/3 (500 + %1)    x)

                                 1/2
         + _C4 exp(1/3 (500 + %1)    x)) (

                      1/2      1/2                    1/2      1/2
        _C1 sin(1/30 2    _c[1]    t) + _C2 cos(1/30 2    _c[1]    t)

        )

                          1/2
  %1 := (250000 + 9 _c[1])


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