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Trouver les points d'une hyper-surface

 
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boirac



Inscrit le: 12 Sep 2006
Messages: 10
Localisation: Londres, Royaume Uni
MessagePosté le: 14 Mai 2007 20:54    Sujet du message: Trouver les points d'une hyper-surface Répondre en citant
Bonjour a tous,

Je voudrais trouver un certain nombres de points, disons 50, qui soient distribués sur une hypersphère de rayon donné.

Donc le problème peut s'énoncer tel que:

trouver [x,y,z,t] tels que x^2+y^2+z^2+t^2+ = 4 par exemple.
J'ai pensé a generer des points aléatoires dans la 4-boule en question, quelque chose de la sorte de:

Code:

points:=[]:
for i from 1 to 10000 while nops(points)<50 do
L:=evalf(1/15*Generate(list(integer(range=0..10),4)),3);
if evalf(L[1]^2+L[2]^2+L[3]^2+L[4]^2,4)=evalf(2,3) then
points:=[op(points),L];
else
fi:
od:


Mais c'est loin d'être éficace.
Meci pour toute suggestion ou conseil,

Alvaro
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ALS



Inscrit le: 11 Sep 2006
Messages: 647
MessagePosté le: 15 Mai 2007 14:17    Sujet du message: Répondre en citant
Bonjour Alvaro,
Je pense en effet qu'en paramétrant la 4-sphère (S), et en choisissant des valeurs aléatoires pour chacun des 3 paramètres, on peut construire très rapidement une suite de 50 points de (S).

Code:

> S:=(R,alpha,theta,phi)->[R*cos(alpha)*cos(phi)*cos(theta),R*cos(alpha)*cos(phi)*sin(theta),R*cos(alpha)*sin(phi),R*sin(alpha)];
 
> R:=2: points:=[]:
> for k to 50 do
>   alpha:=evalf(2*Pi/100*rand(1..100)()):
>   theta:=evalf(2*Pi/100*rand(1..100)()):
>   phi:=evalf(2*Pi/100*rand(1..100)()):
>   points:=[op(points),S(R,alpha,theta,phi)]
> end do:
> points;


Est-ce que cela convient?
A bientôt.
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boirac



Inscrit le: 12 Sep 2006
Messages: 10
Localisation: Londres, Royaume Uni
MessagePosté le: 15 Mai 2007 16:02    Sujet du message: Parametriser la 4 sphere Répondre en citant
Bonjour ALS,

Merci pour votre suggestion. Bien sûr la parametrisation fonctionne.
J'ai trouvé un peu plus d'information sur arXiv:quant-ph/0012101.

Il arrive qu' une distribution aléatoire des angles ne resulte pas en une distribution aléatoire des points sur la sphère. Pour avoir une distribution uniforme, si on emploie la parametrisation de Hurwitz,

Code:

(R,alpha,theta,phi)->[cos(theta[3]), sin(theta[3])*cos(theta[2]), sin(theta[3])*sin(theta[2])*cos(theta[1]), sin(theta[3])*sin(theta[2])*sin(theta[1])];


il faut transformer des variables aléatoires

Code:
 eta
distribuées uniforméments sur 0..1
en
Code:

theta[i]:=arcsin(eta^(1/(2*i)));

pour obtenir nos [x,y,z,t] distribuées uniformément sur la 4-sphère.
Merci de vôtre réponse!
à bientôt.
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