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Nombre de changements de signe d'un polynôme

 
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zozo



Inscrit le: 03 Jan 2013
Messages: 121

MessagePosté le: 20 Mai 2008 13:52    Sujet du message: Nombre de changements de signe d'un polynôme Répondre en citant

Bonjour, qui pourrait m'aider à écrire en Maple une procédure effectuant ce travail qui calcule le nombre de changements de signe d'un polynôme?

On factorise le polynôme p, on recherche les valeurs approchées de ses racines avec fsolve, on élimine les doublons et on ordonne par sort.
On obtient ainsi la liste ordonnée X des racines réelles de p .
chgsgn: variable recevant le nb de changements de signe de p.
Une fois connue X=[X[1],X[2], ... , X[n]] , les n éléments formant X définissent n+1 intervalles, on choisit un point dans chacun de ces n+1 intervalles:
par exemple le point X[1]-1 dans ]-infini,X[1][ , le point (X[1]+X[2])/2 dans ]X[1],X[2][ , ..., le point (X[n-1]+X[n])/2 dans ]X[n-1],X[n][ ,
le point X[n]+1 dans ]X[n],+infini[.
On forme une nouvelle liste L qui va contenir les n+1 valeurs prises par le polynôme p en chacun de ces n+1 points.
En parcourant à l'aide d'une variable k la liste L obtenue, on met à jour le nombre de changements de signe de p :
à chaque fois que L[k]*L[k+1]<0 , on a un changement de signe supplémentaire.

Merci d'avance
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ALS



Inscrit le: 11 Sep 2006
Messages: 624

MessagePosté le: 21 Mai 2008 12:14    Sujet du message: Répondre en citant

Voici le code de la procédure souhaitée:

Code:


> changement_signe := proc(p::polynom, x::name)
local X, k, n, L, chgsgn;
    X := sort(convert({fsolve(factor(p))}, list));
    print(`racines de p ` = X);
    chgsgn := 0;
    n := nops(X);
    L := NULL;
    if 0 < n then
        for k to n do
            if k = 1 then
                L := L, evalf(subs(x = X[k] - 1, p))
            else L := L,
                evalf(subs(x = 1/2*X[k] + 1/2*X[k - 1], p))
            end if
        end do;
        L := [L, evalf(subs(x = X[n] + 1, p))];
        for k to n do
            if L[k]*L[k + 1] < 0 then chgsgn := 1 + chgsgn
            end if
        end do
    end if;
    chgsgn
end proc

> p:=x^5-3*x^4-3*x^3+9*x^2+2*x-6:changement_signe(p, x);  # 5 changements de signe

       racines de p  = [-1.414213562, -1., 1., 1.414213562, 3.]


                                  5

> p:=2*t^2-9*t+6:changement_signe(p, t);  # 2 changements de signe

             racines de p  = [0.8138593384, 3.686140662]


                                  2

> p:=(x^2+x+1)^3*(x-1)^4:changement_signe(p, x);  # p reste positif ou nul

                         racines de p  = [1.]


                                  0



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