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poly formel

 
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Auteur Message
mouezapeter



Inscrit le: 03 Nov 2003
Messages: 11

MessagePosté le: 28 Mai 2004 15:54    Sujet du message: poly formel Répondre en citant

Bonjour,
Souvent pour les poly de degré 3 ou 4 , Maple ne calcule pas directement les racines, ms les remplace par Root_of ; ms comment obtenir explicitement les racines ?
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ALS
Invité





MessagePosté le: 28 Mai 2004 16:08    Sujet du message: Re: polynome formel Répondre en citant

Le problème de la factorisation n'est pas un sujet simple( cf la théorie de Galois ), c'est pourquoi certaines réponses de Maple peuvent s'avérer "décevantes":

Par la fonction factor, on peut factoriser sur Q ou sur le corps induit par les coefficients :

Code:

> factor(x^4-1);
                                         2
                       (x - 1) (x + 1) (x  + 1)

> factor(x^3-I*x-I+1);

                    -(x + I) (-x + 1 + I) (x + 1)


Pour obtenir la factorisation complète:
factor(P,{alpha[1],alpha[2];,...,alpha[n];}) autorise Maple à factoriser P sur un corps contenant les nombres algébriques alpha[1],alpha[2];,...,alpha[n];

Code:

> factor(x^4-1,I);

                  -(x + I) (-x + I) (x + 1) (x - 1)

> factor(x^3-x^2+2*x-2);

                                     2
                           (x - 1) (x  + 2)

> factor(x^3-x^2+2*x-2,{I,sqrt(2)});

               (x - sqrt(2) I) (x + sqrt(2) I) (x - 1)


On peut aussi utiliser Split , qui donne une factorisation complète :
> with(PolynomialTools,Split): P:=Split(x^4-1,x);

Code:

                      2                             2
   P := (x + RootOf(_Z  + 1)) (x - 1) (x - RootOf(_Z  + 1)) (x + 1)


RootOf désigne ici toute racine du polynôme _Z^2+1, on peut simplifier l'écriture en utilisant alias:

Code:

> alias(alpha=RootOf(_Z^2+1)):P;

               (x + alpha) (x - 1) (x - alpha) (x + 1)



Pour calculer les valeurs possibles de alpha :
Code:

> allvalues(RootOf(_Z^2+1)); 

                                I, -I

La fonction roots donne les zéros avec leur ordre de multiplicité:
Code:

>#  x^2+1 n'a aucun zéro sur Q:
> roots(x^2+1);     

                                  []


On calcule ses zéros sur le corps Q(I) induit par les coefficients:
Code:

> roots(x^2+1,I);
                                [[-I,1],[I,1]]


A plus tard.
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