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Résolution d'un système par inversion de matrices

 
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bendesarts



Inscrit le: 27 Fév 2009
Messages: 234

MessagePosté le: 11 Oct 2009 18:58    Sujet du message: Résolution d'un système par inversion de matrices Répondre en citant

Bonjour,

Je cherche à résoudre un système d'équations par inversion de matrices. Voici ci-dessous l'écriture des équations :



Voici maintenant le code maple :

Code:
>
restart;with(linalg):

> Phi:=matrix([[1,1,1,1],[-l1*sin(alpha1)-l2*sin(alpha1+alpha2),-l2*sin(alpha1+alpha2),l3*sin(alpha3),0],[l1*cos(alpha1)+l2*cos(alpha1+alpha2),l2*cos(alpha1+alpha2),l3*cos(alpha3),0],[0,0,0,0]]);

> Phi_d:=matrix([[1,1,1],[-l2*sin(alpha1+alpha2),l3*sin(alpha3),0],[l2*cos(alpha1+alpha2),l3*cos(alpha3),0]]);

> Phi_i:=matrix([[1],[-l1*sin(alpha1)-l2*sin(alpha1+alpha2)],[l1*cos(alpha1)+l2*cos(alpha1+alpha2)]]);

> inverse(Phi_d);

> -evalm(inverse(Phi_d)&*Phi_i);

>

Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected

Phi := [[1, 1, 1, 1], [-l1 sin(alpha1) - l2 sin(alpha1 + alpha2),





  -l2 sin(alpha1 + alpha2), l3 sin(alpha3), 0], [





  l1 cos(alpha1) + l2 cos(alpha1 + alpha2), l2 cos(alpha1 + alpha2),





  l3 cos(alpha3), 0], [0, 0, 0, 0]]

              [           1                    1         1]


              [                                           ]


     Phi_d := [-l2 sin(alpha1 + alpha2)  l3 sin(alpha3)  0]


              [                                           ]


              [l2 cos(alpha1 + alpha2)   l3 cos(alpha3)  0]

               [                    1                    ]


               [                                         ]


      Phi_i := [-l1 sin(alpha1) - l2 sin(alpha1 + alpha2)]


               [                                         ]


               [l1 cos(alpha1) + l2 cos(alpha1 + alpha2) ]

[[0, - (cos(alpha3))/(l2 (sin(alpha1 + alpha2) cos(alpha3)





   + cos(alpha1 + alpha2) sin(alpha3))), (sin(alpha3))/(l2 (sin(alpha1





   + alpha2) cos(alpha3) + cos(alpha1 + alpha2) sin(alpha3)))], [0, (cos(alpha1





   + alpha2))/(l3 (sin(alpha1 + alpha2) cos(alpha3)





   + cos(alpha1 + alpha2) sin(alpha3))), (sin(alpha1 + alpha2))/(l3 (sin(alpha1





   + alpha2) cos(alpha3) + cos(alpha1 + alpha2) sin(alpha3)))], [1, - (


-l3 cos(alpha3) + l2 cos(alpha1 + alpha2))/(l2 l3 (sin(alpha1 + alpha2) cos(





  alpha3) + cos(alpha1 + alpha2) sin(alpha3))), - (l3 sin(alpha3)





   + l2 sin(alpha1 + alpha2))/(l2 l3 (sin(alpha1 + alpha2) cos(alpha3)





   + cos(alpha1 + alpha2) sin(alpha3)))]]

-[[


- (cos(alpha3) (-l1 sin(alpha1) - l2 sin(alpha1 + alpha2)))/(l2 (sin(alpha1





   + alpha2) cos(alpha3) + cos(alpha1 + alpha2) sin(alpha3))) + (sin(alpha3)





  (l1 cos(alpha1) + l2 cos(alpha1 + alpha2)))/(l2 (sin(alpha1 + alpha2) cos(





  alpha3) + cos(alpha1 + alpha2) sin(alpha3)))], [(cos(alpha1 + alpha2) (


-l1 sin(alpha1) - l2 sin(alpha1 + alpha2)))/(l3 (sin(alpha1 + alpha2) cos(





  alpha3) + cos(alpha1 + alpha2) sin(alpha3))) + (sin(alpha1 + alpha2) (l1 cos(alpha1





  ) + l2 cos(alpha1 + alpha2)))/(l3 (sin(alpha1 + alpha2) cos(alpha3)





   + cos(alpha1 + alpha2) sin(alpha3)))], [1 - ((-l3 cos(alpha3)





   + l2 cos(alpha1 + alpha2)) (-l1 sin(alpha1) - l2 sin(alpha1 + alpha2)))/(l2 l3





  (sin(alpha1 + alpha2) cos(alpha3) + cos(alpha1 + alpha2) sin(alpha3))) - ((l3





  sin(alpha3) + l2 sin(alpha1 + alpha2)) (l1 cos(alpha1)





   + l2 cos(alpha1 + alpha2)))/(l2 l3 (sin(alpha1 + alpha2) cos(alpha3)





   + cos(alpha1 + alpha2) sin(alpha3)))]]



Malheureusement, les résultats sont difficiles à exploiter. Est-ce que vous voyiez un moyen de simplifier mieux mes résultats ?

Je vous remercie d'avance pour votre aide

Benjamin
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ALS



Inscrit le: 11 Sep 2006
Messages: 647

MessagePosté le: 13 Oct 2009 6:45    Sujet du message: Répondre en citant

Il suffit d'appliquer la fonction combine sur les coefficients de la matrice:

Code:

> restart;with(linalg):
 
> Phi:=matrix([[1,1,1,1],[-l1*sin(alpha1)-l2*sin(alpha1+alpha2),-l2*sin(alpha1+alpha2),l3*sin(alpha3),0],[l1*cos(alpha1)+l2*cos(alpha1+alpha2),l2*cos(alpha1+alpha2),l3*cos(alpha3),0],[0,0,0,0]]);
 
> Phi_d:=matrix([[1,1,1],[-l2*sin(alpha1+alpha2),l3*sin(alpha3),0],[l2*cos(alpha1+alpha2),l3*cos(alpha3),0]]);
 
> Phi_i:=matrix([[1],[-l1*sin(alpha1)-l2*sin(alpha1+alpha2)],[l1*cos(alpha1)+l2*cos(alpha1+alpha2)]]);
 
> invPhi_d:=map(combine,inverse(Phi_d));
 
> -map(combine,evalm(invPhi_d&*Phi_i));

  Phi :=

        [1 , 1 , 1 , 1]

        [-l1 sin(alpha1) - l2 sin(alpha1 + alpha2) ,

        -l2 sin(alpha1 + alpha2) , l3 sin(alpha3) , 0]

        [l1 cos(alpha1) + l2 cos(alpha1 + alpha2) ,

        l2 cos(alpha1 + alpha2) , l3 cos(alpha3) , 0]

        [0 , 0 , 0 , 0]


               [           1                      1           1]
               [                                               ]
      Phi_d := [-l2 sin(alpha1 + alpha2)    l3 sin(alpha3)    0]
               [                                               ]
               [l2 cos(alpha1 + alpha2)     l3 cos(alpha3)    0]


                  [                    1                    ]
                  [                                         ]
         Phi_i := [-l1 sin(alpha1) - l2 sin(alpha1 + alpha2)]
                  [                                         ]
                  [l1 cos(alpha1) + l2 cos(alpha1 + alpha2) ]


  invPhi_d :=

        [      cos(alpha3)   sin(alpha3)]
        [0 , - ----------- , -----------]
        [         l2 %1         l2 %1   ]

        [    cos(alpha1 + alpha2)   sin(alpha1 + alpha2)]
        [0 , -------------------- , --------------------]
        [           l3 %1                  l3 %1        ]

        [    l3 cos(alpha3) - l2 cos(alpha1 + alpha2)
        [1 , ---------------------------------------- ,
        [                    l2 l3 %1

        -l3 sin(alpha3) - l2 sin(alpha1 + alpha2)]
        -----------------------------------------]
                        l2 l3 %1                 ]

  %1 := sin(alpha1 + alpha2 + alpha3)


           [        l1 sin(alpha3 + alpha1) + l2 %1        ]
           [        -------------------------------        ]
           [                     l2 %1                     ]
           [                                               ]
           [                l1 sin(alpha2)                 ]
          -[                --------------                 ]
           [                    l3 %1                      ]
           [                                               ]
           [-l3 l1 sin(alpha3 + alpha1) - l2 l1 sin(alpha2)]
           [-----------------------------------------------]
           [                   l2 l3 %1                    ]

                   %1 := sin(alpha1 + alpha2 + alpha3)

 


Ce qui simplifie très bien les calculs.
A bientôt.
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bendesarts



Inscrit le: 27 Fév 2009
Messages: 234

MessagePosté le: 19 Oct 2009 16:55    Sujet du message: Répondre en citant

Super merci pour votre aide.
J'ai vu aussi que la fonction map me permet d'appliquer la fonction qui permet de simplifier à savoir combine à une matrice
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