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Polynôme interpolateur d'Hermite

 
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zozo



Inscrit le: 03 Jan 2013
Messages: 121

MessagePosté le: 04 Mar 2010 8:42    Sujet du message: Polynôme interpolateur d'Hermite Répondre en citant

Bonjour,
en espérant que ce sera utile à certains sur ce forum, voici une procédure qui calcule le polynôme interpolateur d'Hermite P d'une fonction f en certains points (ceux de la liste L).
Si L=[x1,x2, ... , xn], on a donc pour tout i de l'ensemble {1,..,n}, P(xi)=f(xi) et P'(xi)=f'(xi).


Code:

> interp_hermite:=proc(f,L)
> local P,a,n,sys,vars;
> n:=nops(L):
> a:=array(0..2*n-1):
> P:=unapply(sum(a[k]*x^k,k=0..2*n-1),x);
> sys:={seq(P(L[i])=f(L[i]),i=1..n),seq(D(P)(L[i])=D(f)(L[i]),i=1..n)};
> vars:={seq(a[k],k=0..2*n-1)};
> assign(solve(sys,vars)):
> unapply(sum(a[k]*x^k,k=0..2*n-1),x)
> end proc:


> f:=x->ln(2*x/(x^2+1));
> h:=interp_hermite(f,[1,2,3,4]);

                                       2 x
                         f := x -> ln(------)
                                       2
                                      x  + 1


            2999
  h := x -> ---- - 36 ln(4/5) + 64 ln(3/5) + 47/3 ln(8/17)
             85

           /                                             134357\
         + |150 ln(4/5) - 240 ln(3/5) - 550/9 ln(8/17) - ------| x +
           \                                              1020 /

        /203207                                  10523         \  2
        |------ + 364 ln(3/5) - 1009/4 ln(4/5) + ----- ln(8/17)| x
        \ 1020                                    108          /

         +

        /  645947                                 8891         \  3
        |- ------ - 289 ln(3/5) + 881/4 ln(4/5) - ---- ln(8/17)| x
        \   4080                                  108          /

           /18293                                 2155         \  4
         + |----- + 130 ln(3/5) - 215/2 ln(4/5) + ---- ln(8/17)| x
           \ 255                                   54          /

           /  38011                                  601         \  5
         + |- ----- - 133/4 ln(3/5) + 59/2 ln(4/5) - --- ln(8/17)| x
           \  2040                                   54          /

           /2633                                179         \  6
         + |---- + 9/2 ln(3/5) - 17/4 ln(4/5) + --- ln(8/17)| x
           \1020                                108         /

           /  201                                11          \  7
         + |- ---- - 1/4 ln(3/5) + 1/4 ln(4/5) - --- ln(8/17)| x
           \  1360                               108         /

> plot([f(x),h(x)],x=0..5,color=[red,blue]);


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