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Résolution d'un système de 6 équations linéaires

 
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Auteur Message
michel



Inscrit le: 23 Juin 2006
Messages: 72

MessagePosté le: 28 Déc 2010 21:19    Sujet du message: Résolution d'un système de 6 équations linéaires Répondre en citant

Bonjour, je souhaite résoudre un système trouver les coefficients de :
Conic:=(X,Y,Z)->a*X^2+b*Y^2+c*Z^2+d*X*Y+e*X*Z+f*Y*Z=0;
Je sais que 5 points définis par leurs coordonnées barycentriques appartiennent à la conique :
U(0,1/2,1/2), V(1/2,0,1/2), W(1/2,1/2,0), E(p1/2+1/2,p2/2,p3/3) et
F(p1/2,p2/2+1/2,p3/2). De plus :
> eq:=p1+p2+p3=1;
Comment conduire les calculs pour trouver les 6 inconnues (a,b,c,d,e,f) ?
Je fournis les solutions :
a=p2.p3 ; b=p1.p3 ; c=p1.p2 ;d=p3.(p3-1) ; e=p2.(p2-1) et f=p1.(p1-1)
Merci.
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ALS



Inscrit le: 11 Sep 2006
Messages: 647

MessagePosté le: 29 Déc 2010 11:12    Sujet du message: Répondre en citant

Bonjour Michel,
voici le cheminement que je vous propose:

Code:

> restart: 
> Conic:=(X,Y,Z)->a*X^2+b*Y^2+c*Z^2+d*X*Y+e*X*Z+f*Y*Z=0;

  Conic :=

                        2      2      2
        (X, Y, Z) -> a X  + b Y  + c Z  + d X Y + e X Z + f Y Z = 0

> U:=[0,1/2,1/2]: V:=[1/2,0,1/2]: W:=[1/2,1/2,0]: E:=[p1/2+1/2,p2/2,p3/2]: F:=[p1/2,p2/2+1/2,p3/2]:
> L:=[U,V,W,E,F]:
> sys:=NULL:
> for pt in L do
>   sys:=sys,Conic(op(pt))
> od:
> {sys};

  {b/4 + c/4 + f/4 = 0, a/4 + c/4 + e/4 = 0, a/4 + b/4 + d/4 = 0,

                                            / p1       \
                              2       2   d |---- + 1/2| p2
          / p1       \2   b p2    c p3      \ 2        /
        a |---- + 1/2|  + ----- + ----- + -----------------
          \ 2        /      4       4             2

             / p1       \
           e |---- + 1/2| p3                    2
             \ 2        /      f p2 p3      a p1      / p2       \2
         + ----------------- + ------- = 0, ----- + b |---- + 1/2|
                   2              4           4       \ 2        /

                        / p2       \               / p2       \
               2   d p1 |---- + 1/2|             f |---- + 1/2| p3
           c p3         \ 2        /   e p1 p3     \ 2        /
         + ----- + ----------------- + ------- + ----------------- =
             4             2              4              2

        0}

> s:=solve({sys},{a,b,c,d,e,f});

            2 c p3 (1 + p1 + p2 - p3)      c p3 (p1 - 1 - 3 p2 + p3)
  s := {d = -------------------------, a = -------------------------,
                       %1                             %1

              c p3 (3 p1 + 1 - p2 - p3)
        b = - -------------------------,
                         %1

                            2                   2               2
              (-2 p1 p3 + p1  - 1 + 2 p2 p3 + p2  - 2 p2 p1 + p3 ) c
        f = - ------------------------------------------------------,
                                        %1

        c = c,

                 2                                   2         2
              (p1  + 2 p1 p3 - 2 p2 p1 - 2 p2 p3 + p3  - 1 + p2 ) c
        e = - -----------------------------------------------------}
                                       %1

          2                                2
  %1 := p1  - 2 p2 p1 + p1 p3 + p3 - 1 + p2  + p2 p3

On simplifie grace à la condition p1+p2+p3=1:
> simplify(s,{p1+p2+p3=1});

                                    2
         4 p3 p2 c             -4 p2  c + 4 p2 c
  {a = - ---------, c = c, e = -----------------,
            %1                        %1

                           2
            4 p3 c - 4 c p3
        d = ----------------,
                   %1

                             2           2
            -8 p3 p2 c - 4 p2  c - 4 c p3  + 4 p2 c + 4 p3 c
        f = ------------------------------------------------,
                                   %1

                                        2
            -4 p3 c + 4 p3 p2 c + 4 c p3
        b = -----------------------------}
                         %1

            2
  %1 := 4 p2  + 4 p2 p3 - 4 p2

Il y a une infinité de solutions qui dépendent de c, donc on fixe la valeur c=p1.p2:

> assign(%): c:=p1*p2:
> factor(simplify(a,{p1+p2+p3=1})); factor(simplify(b,{p1+p2+p3=1})); c; factor(simplify(d,{p1+p2+p3=1})); factor(simplify(e,{p1+p2+p3=1})); factor(simplify(f,{p1+p2+p3=1}));

                                p2 p3


                          -p3 (p2 - 1 + p3)


                                p2 p1


                             (-1 + p3) p3


                             (-1 + p2) p2


                       (p2 + p3) (p2 - 1 + p3)

On obtient bien les solutions que vous indiquiez.


Je vous souhaite de passer de bonnes fêtes et une bonne année 2011.
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michel



Inscrit le: 23 Juin 2006
Messages: 72

MessagePosté le: 29 Déc 2010 15:33    Sujet du message: Répondre en citant

Bonjour,
Le méthode suivie n'est pas satisfaisante ; je crains qu'il n'y en ait pas de meilleure ! Bonne année 2011 à ALS et aux autres internautes.
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