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Détermination et simplification des racines d'une équation

 
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bendesarts



Inscrit le: 27 Fév 2009
Messages: 234

MessagePosté le: 01 Oct 2010 8:45    Sujet du message: Détermination et simplification des racines d'une équation Répondre en citant

Bonjour,

J'ai une fonction de puissance mécanique. Cette fonction est fonction de omega.
Je cherche quand cette fonction de puissance est maximale.

Méthode de résolution:

1) je cherche à déterminer quand la dérivée de fonction de puissance s'annule et pour quel omega. Pour celà, je cherche à trouver omega tel que la dérivée s'annule.

2) Je détermine la valeur de la fonction pour ce omega calculé.

Mon problème est le suivant:

Lorsque je cherche la solution de mon équation, j'obtiens des solutions avec des racines. Je pense que ces solutions avec ses racines doivent pouvoir se simplifier. Comment est-ce que l'on fait pour simplifier les racines carrées?

J'ai essayé la fonction "simplify" mais lorsque j'utilise cette fonction, je n'obtiens alors plus aucune racine? Or je sais que mon problème a normalement des solutions?

Code:
P[tot]:=num/den;
                                        6            2             
                       1.000000000 omega  epsilon m Y               
         -----------------------------------------------------------
                   /        4                2             2      2\
                 3 |1. omega         2. omega    4. epsilon  omega |
         omega[n]  |--------- + 1. - --------- + ------------------|
                   |        4                2               2     |
                   \omega[n]         omega[n]        omega[n]      /

diff(P[tot], omega);
                               5            2             
              6.000000000 omega  epsilon m Y               
-----------------------------------------------------------
          /        4                2             2      2\
        3 |1. omega         2. omega    4. epsilon  omega |
omega[n]  |--------- + 1. - --------- + ------------------|
          |        4                2               2     |
          \omega[n]         omega[n]        omega[n]      /

   -

                                  /        3                         2      \
                   6            2 |4. omega    4. omega    8. epsilon  omega|
  1.000000000 omega  epsilon m Y  |--------- - --------- + -----------------|
                                  |        4           2               2    |
                                  \omega[n]    omega[n]        omega[n]     /
  ---------------------------------------------------------------------------
                                                                    2       
                   /        4                2             2      2\         
                 3 |1. omega         2. omega    4. epsilon  omega |         
         omega[n]  |--------- + 1. - --------- + ------------------|         
                   |        4                2                2    |         
                   \omega[n]         omega[n]         omega[n]     /         
solve(% = 0, omega);
0., 0., 0., 0., 0.,

                                                              (1/2)               
  /                                                     (1/2)\                   
  |               2   /                2              4\     |                   
  \2. - 4. epsilon  + \1. - 16. epsilon  + 16. epsilon /     /      omega[n], -1.

                                                              (1/2)           
  /                                                     (1/2)\               
  |               2   /                2              4\     |               
  \2. - 4. epsilon  + \1. - 16. epsilon  + 16. epsilon /     /      omega[n],

                                                                 (1/2)       
  /                                                        (1/2)\             
  |               2      /                2              4\     |             
  \2. - 4. epsilon  - 1. \1. - 16. epsilon  + 16. epsilon /     /      omega[n

                                                                        (1/2)
         /                                                        (1/2)\     
         |               2      /                2              4\     |     
  ], -1. \2. - 4. epsilon  - 1. \1. - 16. epsilon  + 16. epsilon /     /     

  omega[n]


Merci pour votre aide
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ALS



Inscrit le: 11 Sep 2006
Messages: 647

MessagePosté le: 01 Oct 2010 11:56    Sujet du message: Re: Répondre en citant

Bonjour,
La fonction pour simplifier les radicaux est radsimp mais je doute que les racines obtenues ici puissent mathématiquement se simplifier.
Selon la valeur de epsilon, il est possible de trouver les valeurs numériques de ces racines.
ALS
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bendesarts



Inscrit le: 27 Fév 2009
Messages: 234

MessagePosté le: 23 Mar 2011 17:33    Sujet du message: Répondre en citant

Bonjour,

Je cherche à calculer le maximum d’une fonction de puissance. Pour cela, il faut encore que je détermine quand la dérivée de ma fonction puissance s’annule puis calculer la fonction puissance pour cette valeur.

J'ai mis la fonction ci-dessous.

Je n'obtiens rien. Or dans l'article que je lis, il donne l'expression de la puissance et de son maximum. Merci d'avance pour votre aide.

Code:
                                      3               
                                   Pi1  Pi3           
                     - --------------------------------
                             2        2    2          4
                       -2 Pi1  + 4 Pi1  Pi3  + 1 + Pi1
diff(%, Pi1);
                  2                     3     /                  2        3\
             3 Pi1  Pi3              Pi1  Pi3 \-4 Pi1 + 8 Pi1 Pi3  + 4 Pi1 /
- -------------------------------- + ---------------------------------------
        2        2    2          4                                       2 
  -2 Pi1  + 4 Pi1  Pi3  + 1 + Pi1      /      2        2    2          4\   
                                       \-2 Pi1  + 4 Pi1  Pi3  + 1 + Pi1 /   
> radsimp(solve(% = 0, Pi1));
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bendesarts



Inscrit le: 27 Fév 2009
Messages: 234

MessagePosté le: 24 Mar 2011 0:35    Sujet du message: Répondre en citant

Bonjour, il s'agit toujours de mon même problème mais j'apporte des précisions pour essayer d'être plus clair

Voilà le nouveau code

Code:
Détermination de la puissance maximale
g:=subs(Pi1=omega/omega[p],gsimplifie2*(m*Y^2*omega^3));
                                     6        2                   
                                omega  Pi3 m Y                     
          - -------------------------------------------------------
                      /         2           2    2             4  \
                    3 |  2 omega     4 omega  Pi3         omega   |
            omega[p]  |- --------- + ------------- + 1 + ---------|
                      |          2             2                 4|
                      \  omega[p]      omega[p]          omega[p] /
pp:=omega->diff(g, omega);
            d     
omega -> ------- g
          domega 
solve(pp(omega) = 0, omega);
                                                           (1/2)           
                /                                    (1/2)\               
                |         2   /          2         4\     |               
 0, 0, 0, 0, 0, \2 - 4 Pi3  + \1 - 16 Pi3  + 16 Pi3 /     /      omega[p],

                                               (1/2)           
    /                                    (1/2)\               
    |         2   /          2         4\     |               
   -\2 - 4 Pi3  + \1 - 16 Pi3  + 16 Pi3 /     /      omega[p],

                                              (1/2)           
   /                                    (1/2)\               
   |         2   /          2         4\     |               
   \2 - 4 Pi3  - \1 - 16 Pi3  + 16 Pi3 /     /      omega[p],

                                               (1/2)         
    /                                    (1/2)\             
    |         2   /          2         4\     |             
   -\2 - 4 Pi3  - \1 - 16 Pi3  + 16 Pi3 /     /      omega[p]
g:=unapply(g,omega);
                                    6        2                   
                               omega  Pi3 m Y                     
omega -> - -------------------------------------------------------
                     /         2           2    2             4  \
                   3 |  2 omega     4 omega  Pi3         omega   |
           omega[p]  |- --------- + ------------- + 1 + ---------|
                     |          2             2                 4|
                     \  omega[p]      omega[p]          omega[p] /
simplify(radsimp(g(sqrt(2-4*Pi3^2+sqrt(1-16*Pi3^2+16*Pi3^4))*omega[p])));
/                                           3               /
|/                                    (1/2)\                |
||         2   /          2         4\     |          6     |
\\2 - 4 Pi3  + \1 - 16 Pi3  + 16 Pi3 /     /  omega[p]  Pi3 \

                                             (1/2)         \        \// 
  /                                    (1/2)\              |        | | 
  |         2   /          2         4\     |              |       2| | 
  \2 - 4 Pi3  + \1 - 16 Pi3  + 16 Pi3 /     /      omega[p]/[p] m Y / | 
                                                                      \4

                                                                          2   
            /                                           (1/2)         \       
            |/                                    (1/2)\              |       
          2 ||         2   /          2         4\     |              |       
  omega[p]  \\2 - 4 Pi3  + \1 - 16 Pi3  + 16 Pi3 /     /      omega[p]/[p]  -

                                                                             2
               /                                           (1/2)         \     
               |/                                    (1/2)\              |     
             2 ||         2   /          2         4\     |              |     
  16 omega[p]  \\2 - 4 Pi3  + \1 - 16 Pi3  + 16 Pi3 /     /      omega[p]/[p] 

     2             2
  Pi3  + 2 omega[p] 

                                                                2
  /                                           (1/2)         \     
  |/                                    (1/2)\              |     
  ||         2   /          2         4\     |              |     
  \\2 - 4 Pi3  + \1 - 16 Pi3  + 16 Pi3 /     /      omega[p]/[p] 

                         (1/2)               
  /          2         4\                   2
  \1 - 16 Pi3  + 16 Pi3 /      + 16 omega[p] 

                                                                2         
  /                                           (1/2)         \             
  |/                                    (1/2)\              |             
  ||         2   /          2         4\     |              |        4     
  \\2 - 4 Pi3  + \1 - 16 Pi3  + 16 Pi3 /     /      omega[p]/[p]  Pi3  - 4

                                                                          2
            /                                           (1/2)         \     
            |/                                    (1/2)\              |     
          2 ||         2   /          2         4\     |              |     
  omega[p]  \\2 - 4 Pi3  + \1 - 16 Pi3  + 16 Pi3 /     /      omega[p]/[p] 

                              (1/2)
     2 /          2         4\     
  Pi3  \1 - 16 Pi3  + 16 Pi3 /     

                                                                   4
     /                                           (1/2)         \   
     |/                                    (1/2)\              |   
     ||         2   /          2         4\     |              |   
   - \\2 - 4 Pi3  + \1 - 16 Pi3  + 16 Pi3 /     /      omega[p]/[p]

               4              4    2
   - 5 omega[p]  + 32 omega[p]  Pi3

                                        (1/2)                   
               4 /          2         4\                   4    4
   - 4 omega[p]  \1 - 16 Pi3  + 16 Pi3 /      - 32 omega[p]  Pi3

                                                  \
                                                  |
                                             (1/2)|
               4    2 /          2         4\     |
   + 8 omega[p]  Pi3  \1 - 16 Pi3  + 16 Pi3 /     /



J'arrive à trouver les valeurs pour lesquelles la dérivée s'annule. Par contre, après, quand je rentre ces valeurs dans ma fonction puissance, et je n'obtiens pas un résultat simple.

Or d'après l'article que je lis, je devrais arriver à un résultat simple à savoir

Pmax = (m * Y²) / (4 * wp * Pi3)

J'espère que mes précisions seront plus claires

Merci d'avance pour votre aide.
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zozo



Inscrit le: 03 Jan 2013
Messages: 125

MessagePosté le: 24 Mar 2011 8:19    Sujet du message: Répondre en citant

Bonjour, je n'arrive à rien de mieux que cela:

Code:

> f:=-  Pi1^3*  Pi3 /(-2* Pi1^2  + 4 *Pi1^2 * Pi3^2  + 1 + Pi1^4);           

                                     3
                                  Pi1  Pi3
               f := - --------------------------------
                            2        2    2          4
                      -2 Pi1  + 4 Pi1  Pi3  + 1 + Pi1

> df:=normal(diff(f, Pi1));

                    2           2        2    2          4
                 Pi1  Pi3 (2 Pi1  - 4 Pi1  Pi3  - 3 + Pi1 )
           df := ------------------------------------------
                           2        2    2          4 2
                    (-2 Pi1  + 4 Pi1  Pi3  + 1 + Pi1 )

> s:={solve(df,Pi1)};

                      2       1/2 1/2             2       1/2 1/2
  s := {0, (-1 + 2 Pi3  - 2 %1   )   , (-1 + 2 Pi3  + 2 %1   )   ,

                    2       1/2 1/2              2       1/2 1/2
        -(-1 + 2 Pi3  - 2 %1   )   , -(-1 + 2 Pi3  + 2 %1   )   }

               2      4
  %1 := 1 - Pi3  + Pi3

> for k in s do
>   k,radsimp(subs(Pi1=k,f)) od;

                                 0, 0


             2       1/2 1/2
  (-1 + 2 Pi3  - 2 %1   )   ,

                             2       1/2 3/2
                  (-1 + 2 Pi3  - 2 %1   )    Pi3
        - ----------------------------------------------
                      2     1/2        4        2   1/2
          8 (1 - 2 Pi3  + %1    + 2 Pi3  - 2 Pi3  %1   )

               2      4
  %1 := 1 - Pi3  + Pi3


             2       1/2 1/2
  (-1 + 2 Pi3  + 2 %1   )   ,

                             2       1/2 3/2
                  (-1 + 2 Pi3  + 2 %1   )    Pi3
        - ----------------------------------------------
                      2     1/2        4        2   1/2
          8 (1 - 2 Pi3  - %1    + 2 Pi3  + 2 Pi3  %1   )

               2      4
  %1 := 1 - Pi3  + Pi3


              2       1/2 1/2
  -(-1 + 2 Pi3  - 2 %1   )   ,

                           2       1/2 3/2
                (-1 + 2 Pi3  - 2 %1   )    Pi3
        ----------------------------------------------
                    2     1/2        4        2   1/2
        8 (1 - 2 Pi3  + %1    + 2 Pi3  - 2 Pi3  %1   )

               2      4
  %1 := 1 - Pi3  + Pi3


              2       1/2 1/2
  -(-1 + 2 Pi3  + 2 %1   )   ,

                           2       1/2 3/2
                (-1 + 2 Pi3  + 2 %1   )    Pi3
        ----------------------------------------------
                    2     1/2        4        2   1/2
        8 (1 - 2 Pi3  - %1    + 2 Pi3  + 2 Pi3  %1   )

               2      4
  %1 := 1 - Pi3  + Pi3



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bendesarts



Inscrit le: 27 Fév 2009
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MessagePosté le: 24 Mar 2011 10:38    Sujet du message: Répondre en citant

OK mais par contre, du coup, je ne vois comment ils arrivent dans mon article, à une expression aussi simple.

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