Apprendre Maple

[Guimzo]

Bonjour ALS,




Avant que vous ne partiez en vacances
je voudrais juste vous demander s'il vous plaît un dernier programme si vous êtes encore là.....(??)


Il s'agit de transcrire un petit probléme de géométrie.

Vous pouvez trouver les images du probléme à ce lien d'un autre forum
qui est certainement mieux expliqué.

" http://www.bladi.net/forum/attachments/36098d1341619048-quadrature-cercle "

Pour commodité on trace un axe orthonormé (o,x,y) et on travaille dans le plan des points positifs.....
Le probléme est de construire un rectangle ABCD avec un format supérieur à 0.5 c'est à dire avec ses côtés tel que ( l / L > 0.5 )
Le côté AB est sur l'axe des x avec le point A ( 0;0 ) pour coordonnées et le côté AD sur l'axe des y avec D ( x;0 ) pour coordonnées.


De construire un carré AFGH qui possède la même aire que le rectangle avec le point F appartenant à l'axe des y et le point H à l'axe des x.

Le point R est le point d'intersection du côté du carré et du côté du rectangle de FG et DC.

Maintenant le probléme consiste à partir de la fin c'est à dire calculer ou approcher BC ou DC en ne sachant que DR = sqrt(BC*DC)........?


Comment transcrire le probléme.....?

Les images à ce lien :

" http://www.bladi.net/forum/attachments/36098d1341619048-quadrature-cercle "

[ALS]

Bonjour,

A mon avis, on ne peut pas trouver de solution.
Il manque dans l'aspect géométrique du problème la notion de nombres entiers.

Il existe une infinité de solutions à x.y = k avec x, y réels et k donné.
alors :
1) si tu rajoutes une grille explicite de points entiers sur la figure
2) ça revient à chercher les points de la grille (d'abscisse entière) qui sont sur l'hyperbole x.y = k.

A part une bidouille approximative, à mon sens aucune construction possible.

[Guimzo]

Bonjour ALS,





Merci pour cette réponse.
Effectivement étant donné que l'on travaille avec des nombres semi-premiers donc les nombres cherchés m et n tels que m * n = p
sont des nombres entiers ( premiers ).

Donc en fin de compte il n'y à qu'un seul couple de points étant solution.
C'est un point m appartenant à l'axe des x avec coordonnées de m ( m1 ; 0 ) et sachant que m1 est un nombre entier inférieur à sqrt(p) et supérieur à [ sqrt(p) / sqrt(2) ]

Et le point n appartenant à l'axe des y tel que coordonnées n ( 0 ; n2 )
Sachant que n2 est un entier compris entre sqrt(p) et ( sqrt(p) * sqrt(2) )
Donc n2 est un nombre premier donc un entier
qui appartient à l'intervalle ] sqrt(p) ; sqrt(p) * sqrt(2) [

Donc on peut dire que le nombre de valeurs possibles déjà que peut prendre n2 est tout simplement le nombre de nombres dans l'intervalle
] sqrt(p) ; sqrt(p) * sqrt(2) [

donc sqrt(p) * sqrt(2) - sqrt(p) = sqrt(p) [ sqrt(2) - 1 ]


Voilà une autre construction dans le cas ou m/n = 0.5
Sachant que nous prenons les cas où m/n > 0.5.


" http://www.bladi.net/forum/attachments/36114d1341674468-quadrature-cercle "



Prenons un petit exemple.
( avec m/n > 0.5 )

Un rectangle avec m = 3 avec n = 5 et aire est égale à 5*3 = 15.
Nous avons m/n = 3/5 = 0.6 donc > 0.5
Donc en faisant chemin inverse
Le nombre de possibilités que pourrait prendre
n2 est sqrt(p) [ sqrt(2) - 1 ]
soit sqrt(15) [ sqrt(2) - 1 ] = à peu près 1.60..... on arrondit à 2.
Donc que 2 nombres entiers possibles.

C'est à dire l'entier > sqrt(15) donc 4 et l'entier inférieur à sqrt(15) * sqrt(2) = 5

Donc c'est soit 4 ou soit 5 en l'occurence c'est bien le nombre 5.
L'idée serait qu'avec Maple de trouver une l'équation qui donnerait directement le point n2 sans essayer toutes les possibilités ......?


Ou sinon au pire même en essayant les possibilités comment transcrire la programmation......?


En prenant pour données essentielles que n2 appartient à intervalle

] sqrt(p) ; sqrt(p) * sqrt(2) [ et que n2 entier ( premier ).

[Guimzo]

Bonjour ALS,



Pour simplifier peut-être qu'avec Maple on peut :

1.Tracer une courbe f(x)

2. Délimiter un espace du plan

3. Ecrire une commande pour que Maple renvoie les points
de la section du plan sélectionné appartenant à f(x) et ayant une abscisse et une ordonnée isprime(xi) = true ; isprime(yi) = true.......?


Une construction pour imager:

" http://www.bladi.net/forum/attachments/36147d1341765794-quadrature-cercle "

[ALS]

Bonjour,
Il semblerait qu'il y ait un problème avec vos encadrements de l'abscisse et de l'ordonnée, comme le montre l'exemple suivant où m=31 et n=179, donc p=5549.
sqrt(p)/sqrt(2))= 52.67352275>m et sqrt(p)*sqrt(2)=105.3470455<n

[Guimzo]

Bonjour ALS : )




Merci je savais bien que Maple n'avait aucun secret pour vous et que vous étiez d'une générosité qui inspire le respect et l'admiration.

Avec les nombres que vous avez choisi m=31 et n=179,
donc p= m*n =5549

Le rapport m/n est inférieur à 0.5
C'est un cas qu'il faudra aussi considérer.

Mais pour commodité nous nous plaçons toujours dans les cas ou m/n est strictement supérieur à 0.5.

On peut prendre par exemple m =107 et n =179
En effet 107/179 = à peu près 0.59776536312849 donc > 0.5.



Autrement en réalité à partir du moment où on a tracé la courbe ( l'hyperbole en effet ) il n'y à qu'un SEUL point qui appartient à la courbe dans notre zone dont l'abcisse et l'ordonnée sont des entiers donc on pourrait mettre if x= integer ou if isprime(x)......?


Mais je vais déjà éssayer de voir ce que ça donne ....
En tout cas Merci ALS.

+
G.


P.S.: Sinon y'à encore une autre possibilité mais un peu moins commode...
Dans un plan donné former des figures interdépendantes
Dire à Maple de calculer les aires de chaque figure
Et de voir si oui ou non l'aire d'une figure sélectionnée peut-être exprimée par un rapport (1/3 ou 1/7 ou 2/3 ou 4/3 ou 3/2....) des autres figures...?

[Guimzo]

Re-bonjour ALS,




J'ai essayé la séquence, et c'est un Magnifique graphique que j'ai à l'écran : )

Pour trouver les nombres que l'on cherche il faudrait demander à Maple de renvoyer le point a tel que les coordonnées de a sont 2 nombres entiers et que a appartenant à la courbe dans la zone du rectangle vert....


J'ai pensé à ça :


Point a:=(x1,x2);
if x1 = integer and x2 =integer and a in {c,r} then print a and print x1 and x2

[ALS]

Bonjour,
Effectivement, j'avais zappé la condition m/n>0.5. Voici donc le graphique que l'on obtient, avec l'affichage des valeurs de m,n:

[Guimzo]

Bonjour ALS,




Merci encore une fois pour votre inestimable aide.
Le résultat est excellent.

Pour aller plus loin afin de résoudre dans un temps de calcul raisonnable le cas des grands nombres
par exemple 31901471898837980975055642548078903279 pourrions-nous essayer de modifier la ligne

" if isprime(k) and is(p/k,integer) then
if isprime(p/k) "


Si on essayait qu'avec des "integer" ....??
Tracer le point a entre k1 et k2 tel que abcisse de a = integer et ordonée de a = integer....?


Autrement j'ai vu que Maple intègre une sorte de sonde qui permet de faire un balayage dans le plan et de voir simultanément l’abscisse et l'ordonnée de la position de la sonde ( Clic du côté droit de la souris choisir Info sonde--> position du curseur )

Peut-on faire une animation automatique de la sonde qui fait un balayage de la courbe dans la zone verte et s’arrête automatiquement quand elle tombe sur le point cherché....??

[ALS]

Bonjour,

On aura du mal à se passer de la simple condition d'être entier, car si k est entier, p/k peut ne pas être entier.

A ma connaissance, on ne peut pas programmer la sonde.
J'ai rajouté l'affichage du point A avec la fonction textplot, et l'animation des segments de droites en gris quand vous cliquez sur le graphique et jouez l'animation (bouton dans une nouvelle barre qui apparait alors).

Le temps de calcul est trop long pour des exemples plus difficiles tels que p=31901471898837980975055642548078903279.

[Guimzo]

Bonjour ALS,



Merci pour tout..!!
Le graphique est impeccable et l'animation vraiment bien trouvée dommage que Maple soit obligé à chaque fois de calculer l'ensemble de toutes les possibilités et de choisir après la solution entre les résultats...

Avec les " integer " même en mettant la double condition que k doit être entier et que p/k aussi doit être entier ça revient au même en terme de temps de calcul....??

Pour des logiciels tel que Géogébra entres autres la sonde ou le pointeur sont " intuitifs " si vous parcourez l'axe des x par exemple le pointeur indique la présence d'une valeur entière et s’arrête dessus.....
Peut-être est-ce un réglage à faire dans Maple......??


Autrement imaginons un compteur
de 0 à 31901471898837980975055642548078903279

Combien de temps ( exponentiel ou pas ) à votre avis prendrait Maple en comptant 1 par 1 pour arriver à 31901471898837980975055642548078903279.......??


Enfin bref,
Mille Merci pour tout
Soyez Toujours Béni....!!
G.