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Conjecture d'Erdos

 
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michel



Inscrit le: 23 Juin 2006
Messages: 68

MessagePosté le: 04 Mar 2017 15:29    Sujet du message: Conjecture d'Erdos Répondre en citant

Je souhaite expérimenter la procédure suivante qui n'est pas achevée :
Erdos:=proc(n) #résolution de l'équation 4/n = 1/x + 1/y +1/z dans N
local b,c,k,x,y,z:
k:=iquo(n,6):
if irem(n,6)=0 then x:=3*k:y:=3*k+1:z:=3*k*(3*k+1):
elif irem(n,6)=2 then x:=6*k+2:y:=2*k+1:z:=(2*k+1)*(6*k+2):
elif irem(n,6)=3 then x:=6*k+3:y:=2*k+2:z:=(2*k+2)*(2*k+1):
elif irem(n,6)=4 then x:=3*k+2:y:=3*k+3:z:=(3*k+3)*(3*k+2):
elif irem(n,6)=5 then x:=6*k+5:y:=2*(k+1):z:=2*(k+1)*(6*k+5):
elif irem(n,6)=1 then
x:=b*(6*k+1):y:=k+c:z:=1/(b*(6*k+1)*(k+c)/((k+c)*(4*b-1)+(6*k+1)*b)): fi:
RETURN([1/x,1/y,1/z],1/x+1/y+1/z)
end:
La difficulté provient du calcul de b et c dans le cas de irem(n,6)=1. Je sais
seulement que denom(z) doit être un entier positif.
Peut-on m'aider ? Merci.
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ALS



Inscrit le: 11 Sep 2006
Messages: 624

MessagePosté le: 05 Mar 2017 10:16    Sujet du message: Répondre en citant

Bonjour, par votre méthode sur le dernier cas, je sèche, désolé!

Sinon, j'ai trouvé sur Internet cette page http://revue.sesamath.net/spip.php?article262#1 qui traite du sujet et j'ai remanié la procédure ErdosStraus pour qu'elle fonctionne :

Code:

> with(numtheory):Dm:=[seq(divisors(m^2),m=1..3500)]:

> ErdosStraus:=proc(p)
>
> local m, d, c; global Dm;
>
> for m to 3500 do #début du corps du programme
>
> if  evalb(1 <m and irem(p, m) = 0) then
>
> return([p, m, ErdosStraus(p/m)]) end if;# récursivité
>
> for d in Dm[m] do
>
> if irem((m*p + d),(4*m - 1)) = 0 then
>
> c := (m*p + d)/(4*m - 1);
>
> return([p, [m*p, c, c*m*p/d], [m, d]]) end if
>
> end do;
>
> end do;#fin du corps du programme
>
> m:=sqrt(p);# pour les nombres pentagonaux restants
>
> if is(m, integer) then return([p, m, ErdosStraus(m)]) end if;
>
> return(p = echec)
>
> end proc:
>
>
> seq(ErdosStraus(m), m=2..100);


A+
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michel



Inscrit le: 23 Juin 2006
Messages: 68

MessagePosté le: 05 Mar 2017 17:05    Sujet du message: Conjecture d'Erdos Répondre en citant

Bonjour ALS,
Merdi de votre réponse.
Dans le cas où irem(n,6)=1, on me dit que choisir b et c pour que
b*(6*k+1)*(k+c)/((k+c)*(4*b-1)-(6*k+1)*b) soit un entier positif est toujours possible.
Exemples :
pour n=7, k=1,c=1, b=3 alors 4/7=1/7+1/2+1/14
pour n=13,k=2,c=2,b=2 alors 4/13=1/26+1/4+1/52
pour n=19,k=3,c=3,b=6 alors 4/19=1/114+1/6+1/684
Comment trouver dans le cas général b et c ?
A+
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ALS



Inscrit le: 11 Sep 2006
Messages: 624

MessagePosté le: 06 Mar 2017 18:44    Sujet du message: [Résolu] : Conjecture d'Erdös Répondre en citant

Bonjour,

Vous aviez une erreur pour z, il s'agit de z:=b*(6*k+1)*(k+c)/((k+c)*(4*b-1)-(6*k+1)*b) et non pas z:=1/(b*(6*k+1)*(k+c)/((k+c)*(4*b-1)+(6*k+1)*b))

J'ai rajouté une double boucle for qui permet de trouver b,c tels que z soit entier positif. Auquel cas on sort avec le résultat.

((k+c)*(4*b-1)-(6*k+1)*b) peut être nul, ce qui conduirait à une erreur de division par 0. Le rajout de try ... catch ... end try permet de continuer les boucles sans avoir cette erreur.

J'ai rajouté un second paramètre maxi (entier maximal de fin des boucles for) pour la procédure, valeur que vous pourrez augmenter à votre guide au fur et à mesure que n prendra des valeurs de plus en plus élevées.

Voici le code. Il fonctionne pour n de 2 à100.

Code:

> Erdos:=proc(n, maxi) #résolution de l'équation 4/n = 1/x + 1/y +1/z dans N
> local b,c,h,k,x,y,z:
> k:=iquo(n,6):
> if irem(n,6)=0 then x:=3*k:y:=3*k+1:z:=3*k*(3*k+1):
> elif irem(n,6)=2 then x:=6*k+2:y:=2*k+1:z:=(2*k+1)*(6*k+2):
> elif irem(n,6)=3 then x:=6*k+3:y:=2*k+2:z:=(2*k+2)*(2*k+1):
> elif irem(n,6)=4 then x:=3*k+2:y:=3*k+3:z:=(3*k+3)*(3*k+2):
> elif irem(n,6)=5 then x:=6*k+5:y:=2*(k+1):z:=2*(k+1)*(6*k+5):
> elif irem(n,6)=1 then
> for b to maxi do for c to maxi do
>   x:=b*(6*k+1): y:=k+c:
>   try
>     z:=b*(6*k+1)*(k+c)/((k+c)*(4*b-1)-(6*k+1)*b):
>     if is(z,posint) then RETURN(`n `=n,` b `=b,` c `=c,[1/x,1/y,1/z],1/x+1/y+1/z)  fi
>   catch: 
>   end try
> od od
> fi:
> RETURN(`n `=n,[1/x,1/y,1/z],1/x+1/y+1/z)
> end:


> for p from 2 to 100 do Erdos(p,1000) od;


                       n  = 2, [1/2, 1, 1/2], 2


                     n  = 3, [1/3, 1/2, 1/2], 4/3


                      n  = 4, [1/2, 1/3, 1/6], 1


                    n  = 5, [1/5, 1/2, 1/10], 4/5


                    n  = 6, [1/3, 1/4, 1/12], 2/3


           n  = 7,  b  = 2,  c  = 2, [1/14, 1/3, 1/6], 4/7

.....  etc ......




Je ne sais pas s'il existe une façon plus élégante de procéder que celle de passer par ces boucles, mais ça fonctionne !

A bientôt.
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michel



Inscrit le: 23 Juin 2006
Messages: 68

MessagePosté le: 07 Mar 2017 14:42    Sujet du message: Erdos Répondre en citant

Bonjour ALS,
bravo Alain cette procédure fonctionne parfaitement.
Ces séries prouvent la conjecture dite de Schinzel.
A+.
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