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Apprendre Maple
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Message |
michel
Inscrit le: 23 Juin 2006
Messages: 72
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 Posté le: 28 Déc 2010 21:19 Sujet du message: Résolution d'un système de 6 équations linéaires |
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Bonjour, je souhaite résoudre un système trouver les coefficients de :
Conic:=(X,Y,Z)->a*X^2+b*Y^2+c*Z^2+d*X*Y+e*X*Z+f*Y*Z=0;
Je sais que 5 points définis par leurs coordonnées barycentriques appartiennent à la conique :
U(0,1/2,1/2), V(1/2,0,1/2), W(1/2,1/2,0), E(p1/2+1/2,p2/2,p3/3) et
F(p1/2,p2/2+1/2,p3/2). De plus :
> eq:=p1+p2+p3=1;
Comment conduire les calculs pour trouver les 6 inconnues (a,b,c,d,e,f) ?
Je fournis les solutions :
a=p2.p3 ; b=p1.p3 ; c=p1.p2 ;d=p3.(p3-1) ; e=p2.(p2-1) et f=p1.(p1-1)
Merci. |
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ALS
Inscrit le: 11 Sep 2006
Messages: 647
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| Posté le: 29 Déc 2010 11:12 Sujet du message: |
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Bonjour Michel,
voici le cheminement que je vous propose:
| Code: |
> restart:
> Conic:=(X,Y,Z)->a*X^2+b*Y^2+c*Z^2+d*X*Y+e*X*Z+f*Y*Z=0;
Conic :=
2 2 2
(X, Y, Z) -> a X + b Y + c Z + d X Y + e X Z + f Y Z = 0
> U:=[0,1/2,1/2]: V:=[1/2,0,1/2]: W:=[1/2,1/2,0]: E:=[p1/2+1/2,p2/2,p3/2]: F:=[p1/2,p2/2+1/2,p3/2]:
> L:=[U,V,W,E,F]:
> sys:=NULL:
> for pt in L do
> sys:=sys,Conic(op(pt))
> od:
> {sys};
{b/4 + c/4 + f/4 = 0, a/4 + c/4 + e/4 = 0, a/4 + b/4 + d/4 = 0,
/ p1 \
2 2 d |---- + 1/2| p2
/ p1 \2 b p2 c p3 \ 2 /
a |---- + 1/2| + ----- + ----- + -----------------
\ 2 / 4 4 2
/ p1 \
e |---- + 1/2| p3 2
\ 2 / f p2 p3 a p1 / p2 \2
+ ----------------- + ------- = 0, ----- + b |---- + 1/2|
2 4 4 \ 2 /
/ p2 \ / p2 \
2 d p1 |---- + 1/2| f |---- + 1/2| p3
c p3 \ 2 / e p1 p3 \ 2 /
+ ----- + ----------------- + ------- + ----------------- =
4 2 4 2
0}
> s:=solve({sys},{a,b,c,d,e,f});
2 c p3 (1 + p1 + p2 - p3) c p3 (p1 - 1 - 3 p2 + p3)
s := {d = -------------------------, a = -------------------------,
%1 %1
c p3 (3 p1 + 1 - p2 - p3)
b = - -------------------------,
%1
2 2 2
(-2 p1 p3 + p1 - 1 + 2 p2 p3 + p2 - 2 p2 p1 + p3 ) c
f = - ------------------------------------------------------,
%1
c = c,
2 2 2
(p1 + 2 p1 p3 - 2 p2 p1 - 2 p2 p3 + p3 - 1 + p2 ) c
e = - -----------------------------------------------------}
%1
2 2
%1 := p1 - 2 p2 p1 + p1 p3 + p3 - 1 + p2 + p2 p3
On simplifie grace à la condition p1+p2+p3=1:
> simplify(s,{p1+p2+p3=1});
2
4 p3 p2 c -4 p2 c + 4 p2 c
{a = - ---------, c = c, e = -----------------,
%1 %1
2
4 p3 c - 4 c p3
d = ----------------,
%1
2 2
-8 p3 p2 c - 4 p2 c - 4 c p3 + 4 p2 c + 4 p3 c
f = ------------------------------------------------,
%1
2
-4 p3 c + 4 p3 p2 c + 4 c p3
b = -----------------------------}
%1
2
%1 := 4 p2 + 4 p2 p3 - 4 p2
Il y a une infinité de solutions qui dépendent de c, donc on fixe la valeur c=p1.p2:
> assign(%): c:=p1*p2:
> factor(simplify(a,{p1+p2+p3=1})); factor(simplify(b,{p1+p2+p3=1})); c; factor(simplify(d,{p1+p2+p3=1})); factor(simplify(e,{p1+p2+p3=1})); factor(simplify(f,{p1+p2+p3=1}));
p2 p3
-p3 (p2 - 1 + p3)
p2 p1
(-1 + p3) p3
(-1 + p2) p2
(p2 + p3) (p2 - 1 + p3)
On obtient bien les solutions que vous indiquiez.
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Je vous souhaite de passer de bonnes fêtes et une bonne année 2011. |
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michel
Inscrit le: 23 Juin 2006
Messages: 72
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| Posté le: 29 Déc 2010 15:33 Sujet du message: |
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Bonjour,
Le méthode suivie n'est pas satisfaisante ; je crains qu'il n'y en ait pas de meilleure ! Bonne année 2011 à ALS et aux autres internautes. |
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