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Anomalie dans la série cosinus

 
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Auteur Message
Leleuco



Inscrit le: 22 Mar 2014
Messages: 5
MessagePosté le: 22 Mar 2014 11:44    Sujet du message: Anomalie dans la série cosinus Répondre en citant
Code:


> for x from 0 to 5 do

>print(evalf(sum((-1)^k*x^(2*k)/factorial(2*k), k = 0 .. 10)), evalf(cos(x)))

> end do;

0., 1.
0.5403023059, 0.5403023059
-0.4161468365, -0.4161468365
-0.9899924966, -0.9899924966
-0.6536436057, -0.6536436209
0.2836642141, 0.2836621855



la "sum" est le développement en série de cos(x),bien entendu .Maple donne 0 pour x=0,et cos(0) = 0 . (!).

Si vous donnez à x une valeur proche de zéro :

Code:

> x := 0.1e-7; print(evalf(sum((-1)^k*x^(2*k)/factorial(2*k), k = 0 .. 10)), evalf(cos(x)));


1 10 e-8
1.000000000, 1.



Vous obtenez le bon résultat.

Si vous demandez la série : elle est correcte :

Code:

> sum((-1)^k*x^(2*k)/factorial(2*k), k = 0 .. 5);

1-(1/2)*x^2+(1/24)*x^4-(1/720)*x^6+(1/40320)*x^8-(1/3628800)*x^10

eval(1-(1/2)*x^2+(1/24)*x^4-(1/720)*x^6+(1/40320)*x^8-(1/3628800)*x^10, [x = 0]);
1



Quelle est cette anomalie ? . Où est l'erreur ?

pour Maple ,la série cosinus classique donne pour cosinus(0) = 0 !!
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ALS



Inscrit le: 11 Sep 2006
Messages: 647
MessagePosté le: 23 Mar 2014 8:54    Sujet du message: Répondre en citant
Bonjour,
Effectivement l'anomalie vient du 0^0 correspondant à la première valeur 0 de k. Quand il calcule la somme, Maple doit considérer que 0^0 = 0.
La valeur est 1 en fait, car c'est la limite de exp(x ln(x)) quand x tend vers 0+.
Si on procède en remplaçant x par 0, le calcul semble bien se passer:

Code:

> 0^0;

                                  1

> sum((-1)^k*0^(2*k)/factorial(2*k), k = 0 .. 10);

                                  1



D'où ma solution pour avoir la bonne valeur, je substitue chaque valeur de x dans une variable y:

Code:

> for x from 0 to 5 do
>
> print(evalf(subs(y=x,sum((-1)^k*y^(2*k)/factorial(2*k), k = 0 .. 10))), evalf(cos(x)))
>
> end do;
                                1., 1.


                      0.5403023059, 0.5403023059


                     -0.4161468365, -0.4161468365


                     -0.9899924966, -0.9899924966


                     -0.6536436057, -0.6536436209


                      0.2836642141, 0.2836621855



A bientôt.
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prof_simplet



Inscrit le: 12 Sep 2006
Messages: 86
MessagePosté le: 23 Mar 2014 11:07    Sujet du message: Répondre en citant
Bonjour, cette question a été maintes fois évoquée sur le forum mapleprimes.com, en voici une réponse en anglais.
Il vaut mieux utiliser add à la place de sum.

Citation:


When you want to add a finite specific number of terms (rather than perform a symbolic sumation) you should use add instead of sum. Then you will get the correct answer. By using sum, you are causing the premature evaluation of 0^(2*k), which evaluates to zero (except apparently in Maple 1Cool, k being initially unknown. With add, the terms are not evaluated until the values of k are substituted, and then 0^0 evaluates to 1.

This issue has been discussed on Maple forums for decades.



Code:

for x from 0 to 5 do
>
> print(evalf(add((-1)^k*x^(2*k)/factorial(2*k), k = 0 .. 10)), evalf(cos(x)))
>
> end do;
                                1., 1.


                      0.5403023059, 0.5403023059


                     -0.4161468365, -0.4161468365


                     -0.9899924966, -0.9899924966


                     -0.6536436057, -0.6536436209


                      0.2836642141, 0.2836621855


Voilà, la messe est dite!
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Leleuco



Inscrit le: 22 Mar 2014
Messages: 5
MessagePosté le: 23 Mar 2014 11:21    Sujet du message: Anomalie dans la série cosinus Répondre en citant
Gênant.
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Leleuco



Inscrit le: 22 Mar 2014
Messages: 5
MessagePosté le: 24 Mar 2014 12:21    Sujet du message: Répondre en citant
J'avoue que j'ai un peu de mal à avaler cette explication,car si vous remplacez x par une très petite valeur ,par ex : 0.0000001,On obtient un bon résultat.

for x from 10^(-10) to 5 do

print(evalf(sum((-1)^k*x^(2*k)/factorial(2*k), k = 0 .. 10)), evalf(cos(x)))

end do;

1.0000000, 1.
0.54030231, 0.54030231
-0.41614684, -0.41614684
-0.98999250, -0.98999250
-0.65364361, -0.65364362

> Rien à voir avec "you are causing the premature evaluation of 0^(2*k)" me semble) -t-il.
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