Apprendre Maple

[ALS]

C'est tout à fait possible, en suivant par exemple le plan d'étude suivant:

> assume(x>0);
> f:=x->x^(x/(1-x));

Le domaine de définition est ]0,1[U]1,+infinity[ , sur lequel f est continue:
> singular(f(x));

{x~ = 0}, {x~ = 1}

> iscont(f(x),x=0..1);

true

> iscont(f(x),x=1..infinity);

true

Limites aux bornes:
> Limit(f(x),x=0,right)=limit(f(x),x=0,right);
On obtient 1.

> Limit(f(x),x=1)=limit(f(x),x=1);
On obtient 1/e.

> Limit(f(x),x=infinity)=limit(f(x),x=infinity);
On obtient 0.
Asymptote: l'axe x'Ox en +infinity

f est donc prolongeable par continuité en 0 et 1, en posant f(0)=1 et f(1)=1/e.

Regardons si le prolongement obtenu est dérivable en ces 2 points:
> Limit((f(x)-1)/x,x=0,right)=limit((f(x)-1)/x,x=0,right);
On obtient -infinity
en 0, le prolongement de f n'est pas dérivable (tangente parallèle à y'Oy en ce point)

> Limit((f(x)-1/e)/(x-1),x=1)=limit((f(x)-exp(-1))/(x-1),x=1);
On obtient -1/(2*e).
en 1, le prolongement de f est dérivable avec un nb dérivé égal à -1/(2*e).
Tangente en ce point de pente -1/(2*e).

Sens de variation de f:
> factor(diff(f(x),x));

f'(x) a le signe de ln(x)+1-x, toujours négatif
> solve(ln(x)+1-x<0);

RealRange(Open(0), infinity)

f est donc strictement décroissante.

Tracé de la courbe:
> plot(f(x),x=0..infinity);