1° La décomposition de F en éléments simples dans R s'écrit:

On réduit les fractions composant G au même dénominateur et on identifie les

numérateurs de F et de G . En déduire les valeurs de a,b,c,d,e,f,g .

2° Calculer la décomposition de F en éléments simples dans C

Soit P un polynôme de K[ x ] , s'écrivant sous la forme :

L'algorithme de Hörner permet d'écrire P( x ) sous la forme :

Exemple:

Ecrire une procédure PolyHorner(P , x ) permettant d'écrire P( x ) sous cette forme ,

P étant un polynôme donné de K[ x ] , x étant le nom de la variable .

NB: il est interdit d'utiliser la fonction horner de MAPLE .

Grace à la fonction cost , évaluer le coût en opérations nécessaires pour évaluer Q et
PolyHorner(Q, x ) , Q étant le polynôme donné en exemple .

Question 1:

> F:=X^6/(X^2+1)^2/(X+1)^2;

> G:=a+(b*X+c)/(X^2+1)+(d*X+e)/(X^2+1)^2+f/(X+1)+g/(X+1)^2;

> N:=convert(numer(G),polynom)-X^6:collect(N,X);

> solve({seq(coeff(N,X,k),k=0..degree(N))},{a,b,c,d,e,f,g});

> assign(%);F=G;

Question 2:

> F=convert(F,parfrac,X,I);

> PolyHorner:=proc(P::polynom,x::name)
        local k,n,Q;
            n:=degree(P);Q:=0;
            for k from n by -1 to 0 do
                Q:=Q*x+coeff(P,x,k);
            end do;
            Q
    end proc;

> Q:=3*x^4+2*x^3-x^2+2*x+1;PolyHorner(Q,x);

> with(codegen,cost):cost(Q);cost(PolyHorner(Q,x));