Apprendre Maple Travail dirigé 7
Maple en analyse


 
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TD 7:

Corrigé du TD 7


Soit f la fonction définie pour tout réel x >0 par f(x) = x^(x/(1-x)) .

 

1° Etablir les singularités de la fonction f et vérifier sa continuité.

 

2° Etudier les limites de f aux bornes des intervalles composant Df.

Quelle est l'asymptote de la courbe Cf de f ?

 

3° Calculer f '( x ) et étudier son signe ( on aura recours à une fonction auxiliaire g ).

 

4° Représenter la courbe Cf.

 

5° Etudier la dérivabilité du prolongement par continuité de f aux points 0 et 1.

 


 

Corrigé du Travail dirigé 7:

Énoncé du TD 7

> f:=x->x^(x/(1-x));

f := proc (x) options operator, arrow; x^(x/(1-x)) ...

> singular(f(x)); # D=IR+*\{1}

{x = 0}, {x = 1}

> iscont(f(x),x=0..1),iscont(f(x),x=1..infinity);

true, true

Conclusion: f est définie et continue sur ]0,1[ et ]1,+infini[.

 

> Limit(f(x),x=0,right)=limit(f(x),x=0,right);

Limit(x^(x/(1-x)),x = 0,right) = 1

> Limit(f(x),x=1,left)=limit(f(x),x=1,left);

Limit(x^(x/(1-x)),x = 1,left) = exp(-1)

> Limit(f(x),x=1,right)=limit(f(x),x=1,right);

Limit(x^(x/(1-x)),x = 1,right) = exp(-1)

> Limit(f(x),x=infinity)=limit(f(x),x=infinity);

Limit(x^(x/(1-x)),x = infinity) = 0

Donc une asymptote, l'axe des abscisses, au voisinage de +infini.

 

> df:=normal(diff(f(x),x));

df := x^(-x/(-1+x))*(ln(x)+1-x)/(-1+x)^2

df=f ' a donc le signe de g(x) = ln(x)+1-x .

 

> g:=x->ln(x)+1-x;

g := proc (x) options operator, arrow; ln(x)+1-x en...

> solve(g(x)=0);

1

> solve(g(x)<0);

RealRange(Open(0),Open(1)), RealRange(Open(1),infin...

> solve(g(x)>0); # pas de solution

g(x) est donc toujours négative et nulle pour x=1 .

f est donc décroissante sur ]0,1[ et ]1,+infini[.

 

> plot(f(x),x=0..10,numpoints=1000,color=black);

[Maple Plot]

 

Complément:

f est prolongeable par continuité au point 0 puisque sa limite en ce point vaut 1.

Cherchons si le prolongement obtenu est dérivable au point 0 en calculant:

> Limit((f(x)-1)/x,x=0,right)=limit((f(x)-1)/x,x=0,right);

Limit((x^(x/(1-x))-1)/x,x = 0,right) = -infinity

Le prolongement de f n'est pas dérivable au point 0.

La limite de l'accroissement de f étant infinie,existence d'une tangente dirigée par Oy au point (0,1).

 

f est prolongeable par continuité au point 1 puisque sa limite en ce point vaut 1/e .

Cherchons si le prolongement obtenu est dérivable au point 0 en calculant:

> Limit((f(x)-exp(-1))/(x-1),x=1)=limit((f(x)-exp(-1))/(x-1),x=1);

Limit((x^(x/(1-x))-exp(-1))/(-1+x),x = 1) = -1/2*ex...

Le prolongement de f est donc dérivable au point 1 et f '(1)= -1/(2*e) .

C'est la pente de la tangente à Cf au point (1, 1/e ).
 

 

 

 

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