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Travaux dirigés
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TD 7:
Corrigé du TD 7
Soit f la fonction définie pour tout réel
x
>0
par
.
1° Etablir les singularités de la fonction f et vérifier sa continuité.
2° Etudier les limites de f aux bornes des intervalles composant Df.
Quelle est l'asymptote de la courbe Cf de f ?
3° Calculer f '(
x
) et étudier son signe ( on aura recours à une fonction auxiliaire g ).
4° Représenter la courbe Cf.
5° Etudier la dérivabilité du prolongement par continuité de f aux points 0 et 1.
Corrigé du Travail dirigé 7:
Énoncé du TD 7
>
f:=x->x^(x/(1-x));
>
singular(f(x)); # D=IR+*\{1}
>
iscont(f(x),x=0..1),iscont(f(x),x=1..infinity);
Conclusion:
f est définie et continue sur ]0,1[ et ]1,+infini[.
>
Limit(f(x),x=0,right)=limit(f(x),x=0,right);
>
Limit(f(x),x=1,left)=limit(f(x),x=1,left);
>
Limit(f(x),x=1,right)=limit(f(x),x=1,right);
>
Limit(f(x),x=infinity)=limit(f(x),x=infinity);
Donc une asymptote, l'axe des abscisses, au voisinage de +infini.
>
df:=normal(diff(f(x),x));
df=f ' a donc le signe de
.
>
g:=x->ln(x)+1-x;
>
solve(g(x)=0);
>
solve(g(x)<0);
>
solve(g(x)>0); # pas de solution
g(x)
est donc toujours négative et nulle pour
x=1
.
f est donc décroissante sur ]0,1[ et ]1,+infini[.
>
plot(f(x),x=0..10,numpoints=1000,color=black);
Complément:
f est prolongeable par continuité au point 0 puisque sa limite en ce point vaut 1.
Cherchons si le prolongement obtenu est dérivable au point 0 en calculant:
>
Limit((f(x)-1)/x,x=0,right)=limit((f(x)-1)/x,x=0,right);
Le prolongement de f n'est pas dérivable au point 0.
La limite de l'accroissement de f étant infinie,existence d'une tangente dirigée par Oy au point (0,1).
f est prolongeable par continuité au point 1 puisque sa limite en ce point vaut
.
Cherchons si le prolongement obtenu est dérivable au point 0 en calculant:
>
Limit((f(x)-exp(-1))/(x-1),x=1)=limit((f(x)-exp(-1))/(x-1),x=1);
Le prolongement de f est donc dérivable au point 1 et f '(1)=
.
C'est la pente de la tangente à Cf au point (1,
).
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