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Corrigé:

Définitions des 2 opérations :

> f:=(x,y)->x+y-1;g:=(x,y)->x+y-x*y;

Commutativité de * :

> f(y,x);evalb(f(x,y)=f(y,x));

Associativité de * :

> f(f(x,y),z);f(x,f(y,z));evalb(f(f(x,y),z)=f(x,f(y,z)));

Recherche de l'élément neutre pour * :

> e:=solve(f(x,e)=x,e);

Vérification:

> evalb(f(e,x)=x);evalb(f(x,e)=x);

Conclusion: est élément neutre pour *.

Tout élément x admet un élément symétrique s pour * :

> s:=solve(f(x,s)=e,s);

Vérification:

> evalb(f(s,x)=e);evalb(f(x,s)=e);

Conclusion: est élément symétrique de x pour *.

On conclut que (IR,*) est un groupe abélien .

Commutativité de T :

> g(y,x);evalb(g(x,y)=g(y,x));

Associativité de T :

> simplify(g(g(x,y),z));simplify(g(x,g(y,z)));evalb(simplify(g(g(x,y),z))=simplify(g(x,g(y,z))));

Distributivité de T par rapport à * :

> simplify(g(x,f(y,z)));simplify(f(g(x,y),g(x,z)));evalb(simplify(g(x,f(y,z)))=simplify(f(g(x,y),g(x,z))));

Recherche de l'élément neutre pour T :

> e1:=solve(g(x,e1)=x,e1);

Vérification:

> evalb(g(e1,x)=x);evalb(g(x,e1)=x);

Conclusion: est élément neutre pour T.

Tout élément x de IR \ {1} a un symétrique t pour T dans IR \ {1} :

> t:=solve(g(x,t)=e1,t);

Vérification:

> evalb(simplify(g(t,x))=e1);evalb(simplify(g(x,t))=e1);

> {solve(t=1,x)}; # on vérifie bien que t est dans IR \ {1}

Conclusion: est élément symétrique de x pour T

On conclut que (IR,*,T) est un corps commutatif .

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