Soit n points de coordonnées ( ),...,( ).Le polynôme d'interpolation de Lagrange

relatif à ces points est l'unique polynôme P de degré n - 1 tel que , , pour tout i

de {1,2,. . , n }. Il est défini par

1° Ecrire une procédure Lagrange qui reçoit comme paramètres les deux listes

x= [ ,..., ] , y =[ ,..., ] , et le nom t de la variable , et qui retourne P(t) développé.

2° Soit f une fonction de IR dans IR . Ecrire une procédure Lagrangef qui reçoit

comme paramètres l'opérateur f , une liste x= [ ,..., ] , et le nom t de la variable, et

qui retourne P(t) où P est le polynôme d'interpolation de Lagrange associé aux

points ( , f ( )), ... ,( , f ( )) . On a donc P ( )= f ( ) , pour tout i de {1,2,. . , n }.

3° On définit f : . Représenter f et le polynôme d'interpolation de Lagrange

Lf associé aux points d'abscisses -1,0,1,2 .

4° On définit les polynômes de Tchebychev d'ordre n , n entier naturel , par :

Ecrire les polynômes de Tchebychev , , . . . , sous forme développée.

5° On travaille avec la fonction f définie au 3° :

Représenter sur un même graphique pour n =2,5,10 , la fonction f et les polynômes

d'interpolation de f associés lorsque l'on découpe l'intervalle [-5,5] en n intervalles de

même longueur. Que remarque-t-on aux extrémités de l'intervalle [-5,5] ?

6° On travaille avec la fonction f définie au 3° :

Représenter sur un même graphique pour n =2,5,10 , la fonction f et les polynômes

d'interpolation de f associés lorsque l'on prend pour abscisses (où k =0.. n ) , les

racines du polynôme de Tchebychev d'ordre n +1,multipliées par 5 :

Que constate-t-on par rapport aux résultats obtenus au 5° ?

Question 1:

> Lagrange:=proc(x::list,y::list,t::name)

> local k,L,n,P,Q;

> P:=0:n:=nops(x):

> for k to n do

> Q:=simplify(product(t-x[i],i=1..n)/(t-x[k])):

> L[k]:=Q/subs(t=x[k],Q):

> P:=P+y[k]*L[k]:

> end do:

> expand(P);

> end proc;

Question 2:

> Lagrangef:=proc(f::operator,x::list,t::name)

> local k,y;

> y:=[seq(f(x[k]),k=1..nops(x))]:

> Lagrange(x,y,t);

> end proc;

Question 3:

> f:=x->1/(1+x^2):Lf:=unapply(Lagrangef(f,[-1,0,1,2],x),x);

> plot({f(x),Lf(x)},x=-1.2..2.2);

Question 4:

> for k to 10 do T[k]:=unapply(expand(cos(k*arccos(x))/2^(k-1)),x); end do;

Question 5:

> e:={2,5,10}:

> for n in e do

> abscisses:=[seq(-5+10*k/n,k=0..n)]:

> Leq[n]:=unapply(Lagrangef(f,abscisses,x),x):

> end do:

> plot({f(x),seq((Leq[n])(x),n=e)},x=-5..5,title="f(x)=1/(1+x²) abscisses équidistantes pour n=2,5,10");

On constate que l'on approche bien la courbe au centre de l'intervalle , par contre , aux

extrémités se produisent des oscillations parasites appelées effets de bord .

Question 6:

> e:={2,5,10}:

> for n in e do

> abscisses:=[seq(evalf(5*cos((2*k+1)*Pi/(2*(n+1)))),k=0..n)]:

> LTcheb[n]:=unapply(Lagrangef(f,abscisses,x),x):

> end do:

> plot({f(x),seq((LTcheb[n])(x),n=e)},x=-5..5,title="f(x)=1/(1+x²) abscisses de Tchebychev pour n=2,5,10");